# Graph v2.0.0 升级分析与矢量图册说明

## 1. 升级结论

v1.0.0 已经是一套内容完整、关系严格的课程知识图谱，其主要短板不是知识点数量，而是视觉交付仍以交互画布和 PNG 截图为主：教师难以按章投屏，学生难以单章复习，放大或大幅打印时也没有稳定的纯矢量图版。

v2.0.0 因而采用“双层交付”：

1. `index.html` 保留 195 个节点、517 条关系的节点级交互、查询与学习路径；
2. `functional_analysis_knowledge_graph.html` 提供 12 张可选择的 SVG 图版，把同一份数据转为适合讲授、复习与打印的视觉图册。

## 2. 与 v1.0.0 的具体差异

| 维度 | v1.0.0 | v2.0.0 | 升级意义 |
|---|---:|---:|---|
| 节点数 | 179 | 195 | 补齐从空间结构到应用证明的桥梁节点 |
| 关系数 | 449 | 517 | 新增证明依赖、应用和易混对比关系 |
| 默认主干节点 | 40 | 45 | 把弱下半连续、投影算子、Ascoli 等纳入主干视野 |
| 独立 SVG | 0 | 12 | 总图、定理链、M01–M10 逐章独立输出 |
| 大幅打印 | PNG 截图受分辨率限制 | A0/A2/A3 纯矢量 | 放大后文字与线条仍清晰 |
| 按章选择 | 依赖筛选器 | 专用图版索引、前后切换 | 课堂与复习无需临时配置筛选 |
| 内容入口 | 一张交互图 | 交互图 + 矢量图册 | 机器可查询与人可阅读并存 |

## 3. 内容层新增的 16 个桥梁节点

### M02：典型空间为什么真的是赋范空间

- **Hölder 不等式**：连接共轭指数、乘积可积性和对偶配对；
- **Minkowski 不等式**：明确 `l^p/L^p` 三角不等式的证明机制，并标出 `0<p<1` 只能得到拟范数的边界。

### M04：对偶与算子收敛的具体模型

- **`l^p` 的对偶**：区分 `1<p<∞`、`p=1` 和 `l∞` 端点；
- **`L^p` 的对偶**：显式保留标准 σ-有限测度条件，不把端点结论无条件扩大；
- **算子范数、强与弱算子收敛**：形成“范数收敛 ⇒ 强收敛 ⇒ 弱算子收敛”的辨析链，并连接原有反例。

### M06：弱极限如何进入变分法

- **Mazur 引理**：说明弱收敛可通过尾部凸组合恢复范数逼近，但不能推出原列含范数收敛子列；
- **范数的弱下半连续性**：成为直接法保存极小值的关键不等式；
- **`l^p/L^p` 的自反性**：把对偶表示、自反性和弱紧性连接起来，并突出端点失败。

### M07：Hilbert 几何的判别与算子化

- **平行四边形恒等式与内积判别**：解释为什么一般 Banach 范数不能谈正交；
- **正交投影算子**：把最佳逼近写成 `P_M²=P_M=P_M*`，直接连接最小二乘和 Galerkin。

### M08–M09：紧性与预解的证明接口

- **Arzelà–Ascoli 定理**：补全连续核积分算子紧性的证明链；
- **预解恒等式**：补全预解集开、谱闭和预解解析性的接口。

### M10：PDE 与数值逼近的可验证链

- **Poincaré 不等式**：说明边界条件如何产生 Lax–Milgram 所需强制性；
- **Céa 引理**：把 Galerkin 误差归约为最佳逼近误差；
- **变分法直接法**：明确“有界极小化列—弱紧—弱下半连续—极小元”的证明流程；
- **紧嵌入接口**：说明 PDE 中何时能把弱收敛升级为低阶空间中的强收敛。

## 4. 总图为何不逐条拉出全部跨章边

完整总图保留全部 195 个节点，章内语义边逐条绘制；跨章的 135 条以上关系在章节标题轨道按“源模块 → 目标模块”汇聚，并用圆标显示数量。这样仍然完整呈现课程对象与跨章方向，又不会让 5,200×3,200 的 A0 图变成线团。

逐条跨章关系的节点端点与数学理由仍完整保存在：

- 交互版 `index.html`；
- `data/edges.json` 与 `data/edges.csv`；
- 根目录 `functional_analysis_edges.csv`。

## 5. 逐章图的固定教学语法

每张章节图都采用同一阅读顺序：

1. **对象与定义**：本章使用什么空间、概念和定义；
2. **核心结论**：哪些定理把条件转化为可调用结论；
3. **算子与证明工具**：结论靠什么机制建立；
4. **例子·边界·应用**：抽象结论如何落地，删除条件会发生什么；
5. **跨章入口/出口**：本章从哪里来，又为后续哪一章提供工具；
6. **复习时先攻克**：按难度自动列出本章最难的四个节点。

M07 另加入“点到闭子空间的正交投影”几何插图，以直观解释最佳逼近、垂直残差和投影算子。

## 6. 视觉编码

- 金色六边形：定理 / 引理；
- 青绿圆角：概念 / 空间；
- 蓝灰斜边：算子；
- 红色虚线折角：反例 / 易错；
- 青绿色胶囊：应用；
- 金色顶线：课程主干；
- 红色菱形：难度 4–5；
- 黑色折角：提高或拓展节点。

颜色始终与形状或线型成对出现，因此黑白打印仍可辨认主要类别。

## 7. 文件与复用方式

- 规范数据源：`scripts/build_graph.py`；
- SVG 生成器：`scripts/build_svg_atlas.py`；
- 数据结构校验：`scripts/validate_graph.py`；
- 矢量图册入口：`functional_analysis_knowledge_graph.html`；
- 节点交互入口：`index.html`；
- 图版清单：`vectors/manifest.json`。

修改知识内容后，应依次运行：

```text
python scripts/build_graph.py
python scripts/validate_graph.py
python scripts/build_svg_atlas.py
```

重新生成会保持图版命名和网页选择入口稳定。